چولگی
در هر کلامی، عبارت های “skewed” و “askew” ( به ترتیب اریب و کج شده ) برای ارجاع به موردی استفاده می گردد که خارج از خط را نشان می دهد یا در یک طرف تمایل دارد. وقتی به شکل توزیع فراوانی یا توزیع احتمال اشاره می گردد، چولگی( “skewness”) به عدم تقارن توزیع ارجاع می کند. یک توزیع با عدم تقارن دمی که در سمت را ست گسترش داده شده، به چولگی مثبت یا چوله به راست معروف می باشد در حالی که یک نوزیع با عدم تقارن دمی که در سمت چپ گسترش داده شده، به چولگی متفی یا چوله به چپ معروف می باشد. چولگی می تواند از منفی بینهایت تا مثبت بی نهایت مقدار بپذیرد.
اولین بار کارل پیرسون(1895) اندازه گیری چولگی را بوسیله ی استاندارد نمودن تفاوت بین میانگین و مد یعنی
انحراف استاندارد/(تفاضل میانگین از مد)
را پیشنهاد نمود. مد جامعه به خوبی توجه مد نمونه ای برآورد نمی شود، اما می توان تفاوت بین میانگین و مد را با استفاده از سه برابر تفاضل بین میانگین از میانه برآورد نمود (استوارت و ارد، 1994) که منجر به تخمین چولگی زیر می گردد:
انحراف استاندارد/(تفاضل میانگین از میانه)3
این آماره از منفی یک الی مثبت یک تغییر می کند. مقدار قدرمطلق بیش از 0.2 چولگی زیاد را نشان می دهد (هیل دبراند، 1986).
چولگی همچنین نسبت به گشتاورسوم حول میانگین تعریف می گردد، که همان مقدار مورد انتظار امتیازات Z مکعب شده می باشد. چولگی که به این طریق اندازه گیری می کردد گاهی به چولگی فیشر شناخته می شود. زمانی که انحرافات از میانگین در یک طرف آن نسبت به طرف دیگر بزرگتر باشد، این آماره از صفر و در جهت انحرافات بزرگتر تمایل پیدا می کند. لازم به توضیح است که برای داده های نمونه ای و در اغلب موارد این آماره توسط g1 برآورد می گردد که در آن مجموع مکعبات امتیاز Z توسط ضریب زیر نرمال سازی می گردد:
n/{(n-1)(n-2)}
برای اندازه های بزرگ (n>150)، آماره g1 تقریبا دارای توزیع نرمال با حطای استاندارد تقریبی جذر n/6 می باشد. گرونولد و میدن(1984) آماره ای را نسبت به آماره فوق معرفی نموده اند که در مواردی بهتر عمل می کند؛ بدین معنا که آماره فوق در مواردی دارای نتایج عجیبی می باشد و درحالی که توزیع چوله به راست می باشد، چولگی را منفی محاسبه می نماید.
برای محققین علوم رفتای توجه به چولگی دارای اهمیت می باشد زمانی که در داده ها چنین موردی رخ می دهد. چولگی بزرگ محقق را برای کنکاش داده های پرت رهنمود می کند. توزیع نرمال دارای چولگی صفر می باشد. اگرچه، یک توزیع می توان کاملا متقارن باشد از از شکل توزیع نرمال بسیار متفاوت باشد. به طور معمول تبدیلاتی برای کاهش چولگی (مثبت) شامل ریشه دوم، لگاریتم و تبدیل معکوس استفاده می کردد.
کشیدگی
در سال 1905 کارل پیرسون درجه چولگی توزیع را بوسیله beta2-3 تعریف نمود که در آن beta2 مقدار مورد انتظار توزیغ امتیازات Z می باشد که این امتیازات به توان چهارم می باشند. beta2 اغلب به کشیدگی پیرسون و
beta2-3 به عنوان فزونی کشیدگی یا کشیدگی فیشر شناخته می شود. برآوردگر نااریب beta2-3 را با g2 نمایش می دهیم و به صورت A*C-B تعریف می شود که ضریب A برابر
n(n+1)/{(n-1)(n-2)(n-3)}
و مقدار ثابت B برابر
3(n-1)2/{(n-2)(n-3)}
می باشد. و عبارت C مجموع توان چهارم امتیازات Z می باشد. برای نمونه های بزرگ (n>1000)، آماره g2 تقریبا دارای توزیع نرمال با انحراف استاندارد جذر عبارت 24 تقسیم بر n می باشد(اسندکور و کوکران، 1967).
پیرسون در سال 1905 کشیدگی را به عنوان اندازه ای از میزان همواری بالای یک توزیع متقارن ارائه نمود تا آن را با توزیع نرمال با واریانس مشابه مقایسه نماید. پیرسون به توزیع های همواار تر بالای توزیع با مقدار کشیدگی منفی، پهن (“platykurtic”) به توزیع های با همواری کمتر در بالای توزیع با مقدار کشیدگی مثبت، کشیده (“leptokurtic”) نامید. دکارلو(1967) اذعان نمود که مقدار کشیدگی بیشتر از امتیازات دمی تاثیر می پذیرد تا امتیاز نزدیک به مرکز توزیع. بر این اساس، اغلب اوقات مناسب است توزیع های کشیده را دم کلفت و توزیع پهن را دم نازک می نامیم.
آشفتگی زیادی درباره مفهوم کشیدگی در خصوص شکل توزیع وجود دارد. اغلب نویسندگان در کتابها کشیدگی را به عنوان اندازه تیزی توزیع ها اظهار می کند که به طور اکید صحیح نمی باشد.
